Counting Bits

LeetCode
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第57天。

今天的题目是Counting Bits:

Given a non negative integer number num. For every numbers i in the range 0 ≤ i ≤ num calculate the number of 1’s in their binary representation and return them as an array.

Example:
For num = 5 you should return [0,1,1,2,1,2].

Follow up:

It is very easy to come up with a solution with run time O(n*sizeof(integer)). But can you do it in linear time O(n) /possibly in a single pass?
Space complexity should be O(n).
Can you do it like a boss? Do it without using any builtin function like __builtin_popcount in c++ or in any other language.

和昨天的题目有点联系。

我们知道要求一个数的二进制表示中1的个数大概需要O(1)的时间，但这里的O(1)其实是O(sizeof(integer)).这里的题目上要求直接用O(n)的算法，而不是O(n*sizeof(int))的算法，这说明我们不能用昨天的算法来对每个数进行求解，我们必须找到一个规律来快速的算出来。

尝试把0~16二进制表示中1的个数算出来：

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 1 2 1 2 2 3 1 2 2 3 2 3 3 4 1

可以观察到0-1的值和2-3的值刚好差1，4-7的值和0-4的值刚好差1，同样的8-16的值和0-7的值刚好差。

因此，我们可以写出一下递推式：

numCount[i] = numCount[i-k] 其中k表示i只保留最高位的1时所代表的数。

比如说i=20时，20的二进制表示是10100,则k的二进制位10000,即16.

知道这个之后，我们就可以很容易的求解出来：

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vector<int> countBits(int num) {
    vector<int> ret(num+1,0);
    int k = 1;
    for(int i = 1;i <= num;i++) {
        if (i == k<<1) k<<=1;
        ret[i] = ret[i - k] + 1;
    }
    return ret;
}

dicuss中有一些更精妙的递推式：

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vector<int> countBits(int num) {
    vector<int> ret(num+1, 0);
    for (int i = 1; i <= num; ++i)
        ret[i] = ret[i&(i-1)] + 1;
    return ret;
}